“復(fù)合命題由一個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單命題合成，那么其合成的方式，我們稱(chēng)之為‘聯(lián)結(jié)詞’。 ．比如，‘這張卡片不是奴隸’，‘這張卡片是16歲以上的男人’，‘這張卡片是原籍福建或海南的人’，這是三個(gè)復(fù)合命題。”
“第一個(gè)命題，是對(duì)‘這張卡片是奴隸’這一簡(jiǎn)單命題的一種否定，合成方式是‘非’；第二個(gè)命題，由‘這張卡片是16歲以上的人’和‘這張卡片是男性’兩個(gè)簡(jiǎn)單命題構(gòu)成，合成方式是‘與’，也就是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題同時(shí)為‘真’時(shí)，復(fù)合命題為‘真’；而第三個(gè)命題，由‘這張卡片是原籍福建的人’和‘這張卡片是原籍海南的人’兩個(gè)簡(jiǎn)單命題構(gòu)成，合成方式是‘或’，也就是兩個(gè)簡(jiǎn)單命題幟任意一個(gè)為‘真’時(shí)，復(fù)合命題為‘真’。”
“所以，我們有了聯(lián)結(jié)多個(gè)命題使之成為更大命題的三種手段，與，或，非。其實(shí)還有另外兩種，不過(guò)暫時(shí)與分類(lèi)機(jī)的設(shè)計(jì)無(wú)關(guān)，這里先略過(guò)。”
“我們用符號(hào)來(lái)表示命題和聯(lián)結(jié)詞，則任何一項(xiàng)查詢(xún)，都能表示為一個(gè)表達(dá)式。顯然，令表達(dá)式為‘真’的卡片，就是我們要尋找的卡片。而分類(lèi)機(jī)的作用，就是對(duì)所有卡片，判斷這個(gè)表達(dá)式是否為‘真’。”
“因此，凡是我們的分類(lèi)機(jī)能夠判斷‘真/假’的表達(dá)式，就是我們能夠解決的問(wèn)題，凡是我們的分類(lèi)機(jī)無(wú)法判斷真假的表達(dá)式，就是我們不能解決的問(wèn)題。”
“這就是我們對(duì)這一問(wèn)題的初步抽象。”
馮諾在黑板上寫(xiě)下了幾個(gè)奇怪的符號(hào)v或）、與）、┐非），看起來(lái)像是旋轉(zhuǎn)了9度的大于號(hào)和洶號(hào)，還庸過(guò)來(lái)的拉噸母l。
“好，現(xiàn)在可以寫(xiě)一下
‘原籍福建或海南的人’這一命題的表達(dá)式了，海南是1，福建是1，所以我們令
命題a：‘地區(qū)碼第1位為1’，
命題b：‘地區(qū)碼第位為’，
命題：‘地區(qū)碼第3位為’，
命題d：‘地區(qū)碼第位為’，
命題e：‘地區(qū)碼第3位為’，
則，復(fù)合命題的表達(dá)式為：‘(ab)v(ade)’。”
“我們的分類(lèi)機(jī)是如何判斷真假的呢？是通過(guò)檢驗(yàn)穿孔卡是否穿孔，也就是，分類(lèi)機(jī)的每個(gè)讀卡單元，能夠判斷復(fù)合命題幟一個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假。同時(shí)，通過(guò)一個(gè)控制繼電器，我們可以讓每個(gè)讀卡單元，判斷僅有1個(gè)‘非’聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題，也就是一個(gè)簡(jiǎn)單命題的非命題的真假。”
“假如我們僅有1個(gè)讀卡單元，那么僅此而已。但是現(xiàn)在我們有1個(gè)讀卡單元，所以事情要復(fù)雜一些』過(guò)仍然是可以分析的。請(qǐng)大家注意，每個(gè)讀卡單元側(cè)面的卡袋，裝入的卡片的特點(diǎn)：
k號(hào)卡袋幟卡片，是1~k-1號(hào)命題的‘非’命題的‘與’、再‘與’k號(hào)命題。
經(jīng)過(guò)k號(hào)讀卡單元的樞卡片，是滿(mǎn)足1~k號(hào)所判斷的命題的‘非’命題的‘與’。
1~k號(hào)卡袋里面的卡片，合起來(lái)是滿(mǎn)足1~k號(hào)所判斷的命題的‘或’。
假設(shè)我們的讀卡單元所判斷的簡(jiǎn)單命題或簡(jiǎn)單命題的非命題）為p1，p，，p1。
則我們所能夠判斷的命題表達(dá)式為：
1號(hào)卡袋：p1
號(hào)卡袋：┐p1p
3號(hào)卡袋：┐p1┐pp3
4號(hào)卡袋：┐p1┐p┐p3p4
1號(hào)卡袋：┐p1┐p┐p9p1
最終樞卡片：┐p1┐p┐p1
最后由于這些卡片被彼此分開(kāi)，所以我們最終可以自由瘍?nèi)我舛鄠�(gè)卡袋的卡片合在一起，也就是上述表達(dá)式之間的‘或’；其中最重要的，是從1~k號(hào)的連續(xù)k個(gè)卡袋幟卡片合在一起，其結(jié)果為：p1vvpk，即以p1為開(kāi)頭的連續(xù)‘或’運(yùn)算；
而經(jīng)過(guò)k號(hào)讀卡單元后機(jī)器上樞的卡片，可表示為┐p1┐pk，即以┐p1為開(kāi)頭的連續(xù)‘與’運(yùn)算。”
“所以，凡是能變換成上述形式表達(dá)式的命題，就是分類(lèi)機(jī)能夠查找的，否則，就是分類(lèi)機(jī)不能查找的。”
“我給加奈出的問(wèn)題，找出三亞大區(qū)除奴隸以外的卡片，可以分解成如下的簡(jiǎn)單命題或簡(jiǎn)單命題的非命題：
命題a：‘地區(qū)碼第1位不為1’，
命題b：‘地區(qū)碼第位不為’，
命題：‘地區(qū)碼第3位不為’，
命題d：‘地區(qū)碼第4位不為1’，
命題e：‘地區(qū)碼第5位為1’，
命題f：‘地區(qū)碼第5位不為’
命題g：‘地區(qū)碼第6位不為9’
命題h：‘地區(qū)碼第7位不為9’
┐a┐b┐┐de，這是111，三亞榆林，它符合5號(hào)卡袋的表達(dá)式，所以這些卡片位于5號(hào)卡袋中，可以記為p5。
┐a┐b┐┐d┐e┐fg，這是11~118，三亞田獨(dú)11~89公社，它符合7號(hào)卡袋的表達(dá)式，所以這些卡片位于7號(hào)卡袋中，可記為p7。
┐a┐b┐┐d┐e┐f┐gh，這是119~1198，三亞田獨(dú)9~98公社，它符合8號(hào)卡袋的表達(dá)式，所以這些卡片位于8號(hào)卡袋中，可記為p8。
后兩者合起來(lái)，即p7vp8，是三亞田獨(dú)，但不包括奴隸。三者部合起來(lái)，即p5vp7vp8，是我們所要的結(jié)果。因?yàn)檫@個(gè)表達(dá)式符合我們上面的形式，所以分類(lèi)機(jī)可以解決。”
“而‘(ab)v(ade)’，無(wú)論我們?cè)鯓幼儞Q，是不能變換成上述表達(dá)式的，因而是當(dāng)前的分類(lèi)機(jī)所不能解決的。”
“好，問(wèn)題來(lái)了，怎樣變換表達(dá)式？”這時(shí)他看向了馮珊。
“這是和1的布爾代數(shù)。”馮珊答道，她的眼睛里透出著迷的神色。
馮諾點(diǎn)點(diǎn)頭，錢(qián)羽之和李加奈此前已經(jīng)完不知所云了，不過(guò)聽(tīng)到布爾代數(shù)，他們魚(yú)反應(yīng)過(guò)來(lái)了。
馮諾只教過(guò)他倆最簡(jiǎn)單的布爾代數(shù)，以至于他們以為布爾代數(shù)就是和1的布爾代數(shù)。
“然后呢？”馮諾繼續(xù)引導(dǎo)。
“布爾代數(shù)是有補(bǔ)分配格；運(yùn)算是‘與’，并運(yùn)算是‘或’，求補(bǔ)是‘非’，滿(mǎn)**換律、結(jié)合律、吸收律，‘與’和‘或’彼此滿(mǎn)足分配律！-1布爾代數(shù)還滿(mǎn)足冪等律！”
這是布爾代數(shù)的理論部分，錢(qián)羽之和李加奈又糊涂了。
“很好。”馮諾表?yè)P(yáng)了一句。
“不過(guò)，”他又補(bǔ)充，“格的基運(yùn)算律只是‘與’和‘或’兩種運(yùn)算之間的，包闌換律、結(jié)合律、吸收律、冪等律、分配律等等。在命題邏輯里，還要考慮‘非’的性質(zhì)，這里我暫時(shí)只兩點(diǎn)：其一，雙重否定律，很顯然，命題的非命題的非命題，是其自身。其表達(dá)式的形式是”
馮諾在黑板上寫(xiě)下：
┐┐a = a；
“其二，德唉，就叫‘與或轉(zhuǎn)換律’吧，兩個(gè)命題的合取的非，是兩個(gè)命題的非的析取；兩個(gè)命題的析取的非，是兩個(gè)命題的非的合取。其表達(dá)式的形式是”
他又寫(xiě)下：
┐(ab)= ┐av┐b，
┐(avb)= ┐a┐b。
“我舉兩個(gè)例子你們就明白了，‘不是16歲以上的男人’，也就意味著是‘16歲以下的人’或‘女人’；‘不是原籍海南或福建的人’，也就意味著‘不是原籍海南的人’并且‘不是原籍福建的人’。”
然后他繼續(xù)道，“根據(jù)這些運(yùn)算律，可以把邏輯命題的表達(dá)式變換成各種形式，不過(guò)，一般我們會(huì)變換成連續(xù)‘與’的‘或’，或者連續(xù)‘或’的‘與’，稱(chēng)為析榷式和合榷式。”
“好，有了理論工具，我們就能夠發(fā)現(xiàn)，目前分類(lèi)機(jī)在設(shè)計(jì)上存在局限性。如果分類(lèi)機(jī)能夠處理一般的析榷式或者合榷式，就不存在從設(shè)計(jì)上無(wú)封決的問(wèn)題了。比如‘找出原籍福建或海南的人’。”
“這就要求我們的每個(gè)讀卡單元，不是僅能判斷一個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，而是能夠判斷多個(gè)簡(jiǎn)單命題構(gòu)成的合阮或者析阮的真假。反映在分類(lèi)機(jī)設(shè)計(jì)上，就是把讀卡單元目前僅包括1個(gè)工作繼電器和1個(gè)控制繼電器的簡(jiǎn)單電路，改造成包含多個(gè)繼電器的開(kāi)關(guān)電路。”
“羽之，你這段時(shí)間已經(jīng)很熟悉電路了。你來(lái)組裝一個(gè)有兩個(gè)開(kāi)關(guān)和一個(gè)燈泡的電路，要求‘只有個(gè)開(kāi)關(guān)都閉合，燈泡才亮’。”
馮諾指了指一旁的工作臺(tái)。工作臺(tái)上有一大堆導(dǎo)線、繼電器、燈泡和開(kāi)關(guān)，臺(tái)下放著兩個(gè)笨重的鐘式電池，萬(wàn)用表和其他幾種儀器則被丟在工作臺(tái)的角落里。
錢(qián)羽之熟練地來(lái)到工作臺(tái)前忙活起來(lái)，他首先從電池的正負(fù)極引出了導(dǎo)線，然后把燈泡連入電路，燈泡亮了。接著，他把兩個(gè)開(kāi)關(guān)用導(dǎo)線連起來(lái)，又和燈泡、電池連在了一起。
馮諾讓三名學(xué)生都去試一下，是不是只有個(gè)開(kāi)關(guān)都閉合時(shí)，燈泡才亮，如果有任意1個(gè)開(kāi)關(guān)是斷開(kāi)的，燈泡就熄滅。
下次更新：第七卷-兩廣攻略篇61節(jié)
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