【此章廢話極多，多半是四色定理理論相關(guān)，不看也不影響故事主線】

　　臨淵羨魚，不如退而結(jié)網(wǎng)！

　　看著章杉展露出來的數(shù)學(xué)以及語言功底，葉未央很羨慕，但沒有望而卻步，繼續(xù)著她原本的學(xué)習(xí)計(jì)劃~

　　章杉現(xiàn)在是啞巴吃黃連，有苦說不出。

　　雖然洋洋灑灑地寫了不少，但他知道遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒達(dá)到一篇SCI論文的標(biāo)準(zhǔn)。

　　倒不是知識(shí)的含金量不夠，關(guān)鍵是現(xiàn)在章杉這篇文章中，語言不夠凝練。

　　在這種情況下，里面包含再多真知灼見也是不行的！

　　正式情況下一篇SCI論文字?jǐn)?shù)有三四千字符的，也有好幾萬字符的。

　　雖然研究方向不同，作者能力水平各有高下，但他們的文章無一例外都力求干練。

　　話雖如此，瑕不掩瑜，盡管章杉目前寫的有些冗長(zhǎng)，但此時(shí)他充分體會(huì)到之前學(xué)到的各項(xiàng)技能厚積薄發(fā)~

　　因?yàn)镾CI基本都是以英文進(jìn)行寫作，故此需要具有一定的英語基礎(chǔ)，語法不能有錯(cuò)，而且除了懂一些常規(guī)英語單詞外，還要清楚自己方向相關(guān)的專業(yè)名詞，避免錯(cuò)誤。

　　這些對(duì)章杉來說都是小菜一碟~

　　再者寫論文的話要選擇目前比較熱門的研究方向，再根據(jù)自己研究的方向找出目前存在的問題，并提出自己的一個(gè)解決方法，方法的提出需具有一些創(chuàng)新性。

　　而章杉也完全沒必要擔(dān)心這些，系統(tǒng)的碎片某種程度上既提供了書單，也框定了選題方向。

　　正常寫論文的流程，提出解決方案后，有時(shí)需要先利用電腦，下載一些關(guān)于研究需要的仿真軟件進(jìn)行仿真，在電腦仿真軟件中驗(yàn)證自己的方法是否可行和有效。

　　盡管他還沒有進(jìn)行到這一步，但章杉覺得這并不是一個(gè)問題。

　　雖然從來沒有用過仿真軟件，但對(duì)于能應(yīng)用很多編程軟件的章杉來說，這簡(jiǎn)直手到擒來~

　　~

　　說起來關(guān)于四色猜想的證明：

　　“只需要四種顏色為地圖著色”最初是由法蘭西斯·古德里在1852年提出的猜想。

　　然鵝這個(gè)猜想，一開始并沒有引人重視。

　　較早對(duì)該定理作出“證明”的人是倫敦律師兼數(shù)學(xué)家阿爾弗雷德·布雷·肯普。

　　肯普的證明是基于對(duì)國家數(shù)目進(jìn)行的歸納法。

　　首先容易證明國家數(shù)不多于4時(shí)四色定理成立。肯普假設(shè)當(dāng)國家數(shù)目不多于n時(shí)四色定理成立，他的目的是證明n+1個(gè)國家構(gòu)成的地圖都可以約化為不超過n個(gè)國家構(gòu)成的地圖，從而證明四色定理成立。

　　肯普首先證明一個(gè)有關(guān)平面圖的結(jié)論：任意地圖中必定存在一個(gè)國家，其鄰國數(shù)目小于等于5。證明很簡(jiǎn)單，在圖論版本中，地圖被轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單平面圖。

　　而一個(gè)簡(jiǎn)單平面圖中，設(shè)V為頂點(diǎn)數(shù)，E為邊數(shù)，F(xiàn)為區(qū)域數(shù)，則由于每個(gè)區(qū)域至少由三條邊圍成，每條邊正好隔開兩個(gè)區(qū)域，所以區(qū)域數(shù)和邊數(shù)滿足：2E　　≥　　3F。假設(shè)每個(gè)國家都至少有6個(gè)鄰國，也就是說每個(gè)頂點(diǎn)都連出不少于6條邊，那么由于每條邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)滿足：2E　　≥　　6V。合起來就有：

　　V+F≤E

　　但這與圖論中著名的歐拉公式：V　　+　　F　　=　　E　　+　　2矛盾。

　　因此不可能每個(gè)國家都有不少于六個(gè)鄰國，必定有一個(gè)國家鄰國數(shù)目不超過5。

　　接下來肯普考察n+1個(gè)國家中鄰國數(shù)目最小的國家，稱之為A國。A國鄰國的數(shù)目不超過5個(gè)。如果A國的鄰國數(shù)目不超過3個(gè)，那么可以把A國“去掉”（比如和其中一個(gè)鄰國連成一體），形成一個(gè)n個(gè)國家的地圖，這個(gè)地圖可以用4種顏色著色，而原來的3個(gè)鄰國至多用了3種顏色。這時(shí)候?qū)�A國“放回去”，染上第4種顏色，就等于找到給原地圖4-著色的方法[8]。

　　這種能夠“去掉”一個(gè)國家，減少國家數(shù)的局部后來被稱為“可約構(gòu)形”（reducible　　configuration）。

　　接下來肯普證明A國有4個(gè)鄰國和5個(gè)鄰國的情況仍然是可約構(gòu)形，于是都能夠化為不多于n個(gè)國家的情況。因此任何n+1個(gè)國家的地圖仍然可以用四種顏色染色，因而通過歸納法可知，四色定理成立。

　　肯普的采用的方法后來被稱為“肯普鏈”方法（Kempe　　chain）來證明可約性~

　　盡管肯普的做法后來被人找出錯(cuò)誤，但肯普的思想?yún)s延續(xù)了下來。

　　20世紀(jì)起，歐洲數(shù)學(xué)界對(duì)四色定理的研究出現(xiàn)停滯。相反地，這個(gè)問題在美國得到更多的關(guān)注。

　　不少杰出的數(shù)學(xué)家研究了這個(gè)問題，并作出很大貢獻(xiàn)。一部分的努力是修正肯普的證明；

　　另一方面的努力則是將四色問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以使用更多有力的數(shù)學(xué)工具。

　　對(duì)四色問題的轉(zhuǎn)化從并未停止過。

　　從拓?fù)鋵W(xué)的版本轉(zhuǎn)化至圖染色的版本后，有人又在1898年提出新的變形。

　　肯普和其他科學(xué)家已經(jīng)注意到，證明四色問題只需要考慮三個(gè)國家有共同“交點(diǎn)”的情況，更多國家有共同交點(diǎn)的情形可以轉(zhuǎn)化為前者。

　　因此這樣對(duì)應(yīng)的染色圖中，每個(gè)頂點(diǎn)恰會(huì)連出三條邊。這樣的圖被稱為“三度圖”（trivalent　　map）。

　　有數(shù)學(xué)家觀察到，如果三度圖中任意由邊圍成的區(qū)域，邊的個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，那么圖可以被4-染色。他進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，只要存在一種給圖的頂點(diǎn)賦值+1或-1的方法，使得每個(gè)區(qū)域的頂點(diǎn)數(shù)字之和都被3整除，那么圖可以被4-染色�？梢宰C明，4-染色和存在賦值方法是等價(jià)的。

　　在美國，數(shù)學(xué)家對(duì)四色定理的研究從未停止過。

　　除了約翰·霍普金斯大學(xué)的皮爾斯以及斯多利等人外，另一個(gè)研究者是保羅·溫尼克。從當(dāng)時(shí)的學(xué)術(shù)圣地哥廷根大學(xué)畢業(yè)的溫尼克來到美國后在肯塔基大學(xué)任教。他1904年發(fā)表的論文中已經(jīng)出現(xiàn)了可約性的雛形。然而美國數(shù)學(xué)界在四色問題上首次實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展出現(xiàn)在1912年後。普林斯頓大學(xué)的奧斯瓦爾德·維布倫（經(jīng)濟(jì)學(xué)家托爾斯坦·范伯倫的侄子）是這波浪潮的先鋒。他的工作重心是拓?fù)鋵W(xué)，1905年證明了若爾當(dāng)曲線定理。對(duì)龐加萊發(fā)展出的新代數(shù)工具有深入了解的他，很自然地開始對(duì)四色定理的研究。他使用有限幾何學(xué)的觀念和有限域上的關(guān)聯(lián)矩陣作為工具，將四色問題轉(zhuǎn)化成有限域系數(shù)空間上的方程問題。這個(gè)方向被后來的密碼學(xué)家、數(shù)學(xué)家威廉·托馬斯·塔特稱為“量化方法”（the　　quantitative　　method）。同年，他的普林斯頓同僚喬治·戴維·伯克霍夫也開始探索這個(gè)方向，但一年之后他開始轉(zhuǎn)向肯普的方法，也即是塔特所稱的“定性方法”（the　　qualitative　　method），并提出可約環(huán)（reducible　　ring）的概念。1913年，伯克霍夫發(fā)表名為《地圖的可約性》（The　　Reducibility　　of　　Maps）的論文，利用可約環(huán)證明了：由不超過12個(gè)國家構(gòu)成的地圖都能用四色染色。1922年，伯克霍夫的學(xué)生菲利普·富蘭克林運(yùn)用同樣的方法，將結(jié)論加強(qiáng)到：不超過25個(gè)國家構(gòu)成的地圖都能用四色染色。由于別克霍夫首次證明四色定理對(duì)不超過12個(gè)國家的地圖成立，歷史上證明的可染色地圖的國家數(shù)上限記錄被稱為別克霍夫數(shù)。

　　伯克霍夫等人的證明是肯普的方法的延續(xù)和系統(tǒng)化，歸納為尋找一個(gè)不可避免的可約構(gòu)形集（an　　unavoidable　　set　　of　　reducible　　configurations）。

　　這個(gè)理念已經(jīng)體現(xiàn)在肯普的證明中。

　　他首先說明任一地圖中必然存在以下四種構(gòu)形：2鄰國國家、3鄰國國家、4鄰國國家和5鄰國國家；然后證明每種構(gòu)形都是可約構(gòu)形。后來希爾將這種分類方式稱為“不可避免集”。

　　伯克霍夫的構(gòu)想是使用反證法：反設(shè)存在至少需要五種顏色染色的地圖，那么其中必然存在國家數(shù)最小的“極小五色地圖”（five-chromatic　　map）。這個(gè)地圖必然是“不可約的”（irreducible）。而只要找到一組構(gòu)形，使極小五色地圖中不可避免地會(huì)出現(xiàn)其中一種構(gòu)形，并且每個(gè)構(gòu)形都是可約的，那么就能夠通過約化，將地圖的國家數(shù)減少，從而導(dǎo)致矛盾。

　　肯普找的不可避免集由四種構(gòu)形組成，但他無法證明最后一種（5鄰國國家）的可約性，因此伯克霍夫開始尋找刻畫不可避免集的新方法。

　　他提出以相鄰國家連成的環(huán)來將整個(gè)地圖M分為三個(gè)部分：環(huán)內(nèi)部分A、環(huán)外部分B以及環(huán)本身R。若環(huán)上的國家數(shù)為n就稱其為n-環(huán)。如果R的任意染色都不妨礙A進(jìn)行染色，那么就可以“忽略”A而將M的染色問題約化為B+R的染色問題。這時(shí)便稱A+R是可約構(gòu)形，R稱為可約環(huán)。伯克霍夫證明了：當(dāng)R是4-環(huán)，或者R是5-環(huán)且A中國家不止一個(gè)，或者A+R是“伯克霍夫菱形”時(shí)，A+R都是可約的構(gòu)形。因此極小五色地圖不可能包含這些構(gòu)形。

　　富蘭克林進(jìn)一步證明：極小五色地圖中必定包含三個(gè)鄰接的五邊國（5鄰國的國家），或者鄰接的兩個(gè)五邊國與一個(gè)六邊國，或者鄰接的一個(gè)五邊國和兩個(gè)六邊國。他從而得出一系列的可約構(gòu)形，形成了25國以下地圖的不可避免的可約構(gòu)形集。因此推出，極小五色地圖必定至少包含26個(gè)國家。

　　富蘭克林發(fā)現(xiàn)，極小五色地圖必定包括以上6種情形之一。

　　這種方法的終極目標(biāo)是找到所有地圖的不可避免的可約構(gòu)形集。然而隨著國家數(shù)增多，要找到不可避免集并證明其可約化性就越難。這主要是因?yàn)殡S著環(huán)的增大，染色的方法數(shù)目會(huì)迅速增大。染色方法有31種，而12-環(huán)則有22144種。因此對(duì)大環(huán)圍成的構(gòu)形驗(yàn)證可約性是十分繁雜的工作。

　　1926年，C.N.Reynolds將別克霍夫數(shù)從年，富蘭克林將其推進(jìn)到年，C.E.Winn將之提高到35。而直到1968年，別克霍夫數(shù)才更新為40。

　　四色問題研究的下一個(gè)突破并不是在美國，而是由哥廷頓大學(xué)出身的德國數(shù)學(xué)家亨利·希爾帶來的。

　　他在1948年提出不可避免集的存在性，但他提出的不可避免集可能包含10000個(gè)構(gòu)形，其中還有18-環(huán)的龐大構(gòu)形。希爾的另一個(gè)成果是在1969年提出“放電法”（discharging　　method），為尋找不可避免集給出了系統(tǒng)的方法。

　　人工尋找不可避免構(gòu)形集和驗(yàn)證構(gòu)形可約性過于緩慢，數(shù)學(xué)家開始考慮使用當(dāng)時(shí)新出現(xiàn)的計(jì)算機(jī)作為輔助，以提高驗(yàn)證的效率。構(gòu)造出放電法的同時(shí)，借助于計(jì)算機(jī)來驗(yàn)證構(gòu)形可約性的工作也飛速進(jìn)展。

　　希爾在Karl　　Dürre的幫助下在1965年設(shè)計(jì)了第一個(gè)算法來驗(yàn)證構(gòu)形的可約性。他們使用的是Algol　　60語言，在德國漢諾威技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)中心的一臺(tái)CDC　　1504A電腦上首次運(yùn)行。1967年前，由于內(nèi)存不足，只能驗(yàn)證12-環(huán)以下的構(gòu)形。而希爾找出的不可避免集含有的大構(gòu)形可以達(dá)到14-環(huán)甚至更多，計(jì)算機(jī)的能力并不足以快速完成可約性的驗(yàn)證。

　　當(dāng)時(shí)美國的計(jì)算機(jī)技術(shù)領(lǐng)先于歐洲，因此希爾希望能夠借助美國的大型計(jì)算機(jī)來證明四色定理。1967年，美國紐約布魯克海文國家實(shí)驗(yàn)室（BNL）應(yīng)用數(shù)學(xué)院院長(zhǎng)邀請(qǐng)希爾來美國訪問，并允許他使用當(dāng)時(shí)世界上最快的計(jì)算機(jī)CDC　　6600。其后幾年，希爾兩度到美國尋求大型計(jì)算機(jī)的使用機(jī)會(huì)。這段時(shí)間中，Dürre將程序用FORTRAN進(jìn)行重寫。抱著在德國最終解決四色問題的希望，希爾回到德國，但令他失望的是，德國學(xué)術(shù)界對(duì)他的計(jì)劃持否定態(tài)度，并不愿為他的程序撥出計(jì)算時(shí)間。

　　在數(shù)次訪美時(shí)，希爾開始與沃夫?qū)�·哈肯合作�?br />
　　哈肯在1948年曾經(jīng)旁聽過希爾提出不可避免集的課程，之后對(duì)四色定理產(chǎn)生了持續(xù)的興趣。兩人通過信件交流合力作出很多進(jìn)展，為最終解決四色問題鋪平道路。1971年，阿佩爾也開始在哈肯的介紹下研究四色問題。然而當(dāng)時(shí)哈肯對(duì)解決四色問題的前途感到悲觀，因?yàn)閷ふ也Ⅱ?yàn)證合適的不可避免可約構(gòu)形集實(shí)在過于復(fù)雜，即便借助計(jì)算機(jī)也需要過多的時(shí)間。塔特當(dāng)時(shí)也認(rèn)為，即便最樂觀的估計(jì)中，不可避免集也要包含至少8000個(gè)構(gòu)形。然而塔特等人也將希爾的工作介紹到美國（當(dāng)時(shí)希爾的工作只在德國發(fā)表過），并引發(fā)了很多人的熱情。包括弗蘭科·阿萊爾、愛德華·雷尼爾·斯瓦特、弗蘭科·R·伯恩哈特等人都開始尋找不可避免集以及檢驗(yàn)可約性。哈肯和阿佩爾依賴于計(jì)算機(jī)的工作能力，因此不斷改良放電過程。他們將通過放電過程尋找不可避免集的算法和驗(yàn)證可約性結(jié)合起來，當(dāng)某個(gè)不可避免集的構(gòu)形不是C-可約（可約性的一種）或難以被驗(yàn)證為C-可約的時(shí)候，就放棄這個(gè)不可避免集，以提高效率。兩人設(shè)定了很多經(jīng)驗(yàn)性的修正規(guī)則，比如設(shè)定三個(gè)經(jīng)驗(yàn)性的“障礙”（三種特定的構(gòu)形），當(dāng)某個(gè)構(gòu)形中含有這種障礙就直接認(rèn)為是不可約的；又比如構(gòu)形的大小不能超過14-環(huán)，等等。

　　1975年，哈肯找到一種很好的放電過程，但難以化為算法程序。于是兩人暫時(shí)開始回歸紙筆計(jì)算。這時(shí)候他們得到當(dāng)時(shí)還是博士學(xué)生的約翰·科赫的支持，后者對(duì)他們提供了可約性驗(yàn)證算法工作上的幫助。1976年3月，他們終于得到一個(gè)由1936個(gè)構(gòu)形組成的不可避免集，對(duì)應(yīng)的放電過程由487條規(guī)則構(gòu)成。同時(shí)伊利諾伊大學(xué)的主電腦也更換成運(yùn)算速度更高的IBM　　360，為計(jì)算節(jié)省大量時(shí)間。經(jīng)過電腦1200小時(shí)的驗(yàn)證，他們終于在6月得出：1936個(gè)構(gòu)形都是可約構(gòu)形。這代表著四色定理最終的解決[2]:35。這時(shí)候他們的幾個(gè)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手如阿萊爾、斯瓦特等的工作也將近尾聲。

　　1976年6月22日，哈肯和阿佩爾首次在美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（M.A.A.）于多倫多大學(xué)召開的美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（A.M.S.）夏季會(huì)議公布他們的結(jié)果。不久，伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系的郵戳上加上了“四種顏色就夠了”（FOUR　　COLORS　　SUFFICE）的一句話，以慶祝四色猜想得到解決。9月，美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的公告專欄上刊登了兩人證明四色定理的消息。

　　1977年，哈肯和阿佩爾將結(jié)果寫成名為《任何平面地圖都能用四種顏色染色》（Every　　planar　　map　　is　　four　　colorable）的論文，分成上下兩部分，發(fā)表在《伊利諾伊數(shù)學(xué)雜志》。

　　至此，困擾人們長(zhǎng)達(dá)長(zhǎng)久的四色問題終于被解決了。

　　可以看得出來長(zhǎng)久人們圍繞著四色猜想主要進(jìn)行的工作都是圍繞著可約性驗(yàn)證進(jìn)行的。

　　在這一過程中，諸如計(jì)算機(jī)這樣的新工具對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算帶來了很大幫助~

　　良好的工具對(duì)科研會(huì)提供良好的助力~

　　然鵝工具太先進(jìn)也不是什么好事情！

　　章杉從系統(tǒng)圖書館內(nèi)總共看到了9種全新的證明方法。

　　然而有六種都沒辦法使用！

　　利用量子計(jì)算機(jī)證明是什么鬼？

　　現(xiàn)有根本沒有合適的量子計(jì)算機(jī)，難道為了這次證明發(fā)明點(diǎn)新工具。

　　還有利用特子計(jì)算機(jī)證明是什么鬼！這就超出章杉的想象力了。

　　再幾種更是沒眼看~

　　這就很離譜！

　　不過好在還是有三種能用的方法的~

　　只是利用現(xiàn)有的工具即可，證明思路也很巧妙。

　　這就很nice了~

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